integral

 

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut Integral tak tentu dan Integral tentu diharapkan peserta didik secara mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu (Limit dan fungsi turunan) serta pengembangan dasar integral dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:

Pengantar materi:

Dalam konsep defferensial (turunan) fungsi telah kita pahami teorema dasar sebagai berikut:

Fungsi aLjabar		Fungsi Trigonometri
y = a x n     è    y1 = a. n xn -1		y = sin f(x)   è  y’ = f’(x) cos f(x) y = cos f(x)    è  y’ = - f’(x) sin f(x)
y = 2 x4            è  y’ = 2 (...) x..... y = 3 x3/2          è  y’ = (...). x.... – 1 y = 5x -2   è  y’ = ....................		y = sin x             è  y’ = cos x y = cos 5x          è  y’ = - ..... sin  (…...) y = 2 sin (3x –4) è  y’ = 2 (.....) cos (3x - .....)

A.1.   INTEGRAL SEBAGAI ANTI DEFFERENSIAL.

Definisi: F(x) disebut anti turunan dari f(x) pada interval I, jika  = f(x) untuk semua x  

                dalam I.

Perhatikan beberapa masalah di bawah ini:

Fungsi  [ F(x) ]		Fungsi Turunan  [ f(x) ]
y = 2 x5	è	y’ = 2 (.....) x5 - ......  = ...........
y = 2 x5 + 15	è	y’ = 2 (.....) x5 - ......  = ...........
y = 2 x5 - 543	è	y’ = 2 (.....) x5 - ......  = ...........
y = 2 x5 + c	è	y’ = 2 (.....) x5 - ......  = ...........

INTEGRAL :   

Anti turunan f(x) dinotasikan  , lambing dinamakan Integral, sedang f(x) disebut Integran  dan  dx  adalah defferensial dari x.

Secara umum anti defferensial (turunan) dinyatakan:

  INTEGRAL TAK TENTU.

a.       Integral Fungsi Aljabar.

Berangkat dari pengertian integral sebagai anti defferensial sebagaimana dijabarkan pada bagian terdahulu, perhatikan beberapa hal berikut:

 

F(x) = 3 x⁵             è F’(x) = f(x) = 3.(....) x^{5 - ....} = 15 x⁴

F(x) = 3 x⁵ -6        è F’(x) = f(x) = 3.(....) x^{5 - ....} = 15 x⁴

F(x) = 3 x⁵ +100    è F’(x) = f(x) = 3.(....) x^{5 - ....} = 15 x⁴   F(x) = 3x⁵+ 

F(x) = 3 x⁵ -1256   è F’(x) = f(x) = 3.(....) x^{5 - ....} = 15 x⁴     

F(x) = 3 x⁵ + C                  è F’(x) = f(x) = 3.(....) x^{5 - ....} = 15 x⁴

 

Nampak bahwa         dapat diwakili oleh -6 atau 100 atau -1256 atau C dan biasa dikenal dengan Konstanta (bilangan tak tentu), sehingga secara umum diwakili C.

Proses mendapatkan fungsi anti turunan dapat diikuti sebagai berikut:

F(x) = =   = …. x^….. + C

 Kesimpulan:  Integral tak tentu fungsi aljabar didefiniskan:    

Masalah 1:

Tentukan anti turunan (Integral) fungsi dari beberapa fungsi turunan di bawah ini:

a. f(x) = 2 x³                           b. f(x) = x - 2                  c. f(x) = x³  + 10

Penyelesaian:

a.  

b.  

                                =

                                =

c.  

                                       = 

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

Hitung Integral dari:

a. f(x) = 2                               c. f(x) =                          c. y =

b. f(x) = 3 x⁵                           d.  y =                             f.  y = 

b.       Integral Fungsi Trigonometri.

Berangkat dari pengertian integral sebagai anti defferensial sebagaimana dijabarkan pada bagian terdahulu, perhatikan beberapa hal berikut:

y = sin x          è  y’ = cos  x             maka   cos  x  dx =  ........  + c

y = cos x         è  y’ = - ..........           maka   sin  x  dx =  - ........  + c

y = cos 3x       è  y’ = - 3 sin 3x        maka   sin  3x  dx =  - ........  + c

Kesimpulan:

                        dan     

               dan     

Masalah 2:

Tentukan anti turunan (Integral) fungsi dari beberapa fungsi turunan di bawah ini:

a. f(x) = sin x             b. f(x) =  3 cos x                c. f(x) = 3 sin 2x                    d. f(x) = 2 cos (3x -1)

Penyelesaian:

a.                             c.

b.                   d.

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Hitung Integral dari:

           a. f(x) = sin (2x -1)                             b. f(x) = 3 cos 2x                   c. f(x) = 5 sin (2x + 5)

        2. Selesaikan integral di bawah ini:

            a.  ∫ cos 4x dx                                   b. ∫ 3 sin  4x dx                    c. ∫ 3 cos  (3x + 2) dx

Beberapa sifat integral tak tentu:

Jika f dan g suatu fungsi yang mempunyai anti turunan (Integral) dan k suatu konstanta, maka:

a.

b.

c.

Masalah 3 :

Tentukan anti turunan (Integral) fungsi dari beberapa fungsi turunan di bawah ini:

a. f(x) = x³ – 2                   b. f(x) =  (x – 2)²                c. f(x) = 2x + sin 2x               d. f(x) = 3x² - cos (3x -1)

Penyelesaian:

a.

b.

                                                                                  =

c. (2x + sin 2x) dx =

                                                                              =     

d.

Masalah 4 :

Diketahui F’(x) = 4x³ -6x + 4   dan F(1) = 8, Tentukan  F(x) ?

Penyelesaian:

F(x) =

                               

dari:   F(1) = 8  maka:    8 = 1⁴ -3(…)² + 4(…) + c

                                       8 = 1 - ….. + ….. + c

                                       8 = ........ + c   è   c = .......

Jadi F(x)  =  x⁴ – (....) x^....... + ..... x + .......

Masalah 5 :

Gradien pada setiap titik (x, y) dari suatu kurva  y = f(x)  ditentukan oleh 

Jika diketahui bahwa kurva tersebut melalui titik (2, 5)  maka Tentukan persamaan kurvanya !

Penyelesaian:

              è  y =

                                                                        

Kurva di atas melalui titik (2, 5) sehingga:

5 = ...... +        çè    5 = ..... +  c     çè   c = .......

Jadi persamaan kurva    y =  ....... +

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Hitung Integral dari:

   a. f(x) = x⁴ – 1                c. f(x) =  (x – 3)²                   e. f(x) = 2x + cos x             g. y = 3x² – sin (3x -1)

   b. f(x) = x                d. f(x) = (2x -1)(+2)     f.  y = sin 2x – cos x        h. y = 2x - 2 cos 3x

2. Tentukan persamaan kurva yang  gradien garis singgungnya adalah  6x² dan melalui titik (-3, 1) ?

3. Tentukan persamaan kurva jika diketahui    dan melalui titik (2, 10) ?

4. Pada titik (x, y) sebiuah kurva, gradien garis singgungnya ditentukan oleh , Jika nilai maksimum dicapai pada  y = 3,5 maka Tentukan persamaan kurva tersebut !